База данных: IPR SMART кітаптар
Беті 1, Нәтижелерін: 31
Отмеченные записи: 0
1.
Подробнее
16394
Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика : учебное пособие. - [Б. м.] : Московский государственный строительный университет, ЭБС АСВ, 2010 - .Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика / Клашанов Ф. К. - 2010. - 112 с. - ISBN 978-5-89826-333-1 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
Дискретная математика -- теория множеств -- комбинаторика -- автоматизированная система -- информация -- информатика -- вычислительная техника
Аннотация: В учебном пособии по дискретной математике представлены материалы в помощь студентам, изучающим дискретную математику в Московском государственном строительном университете на факультете ИСТАС и рассчитана на студентов, обучающихся по специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (код по ОКСО 230102) по направлению 654600 «Информатика и вычислительная техника» (код по ОКСО 230100). Учебное пособие представляет собой единый методически взаимоувязанный материал, состоит из взаимосвязанных разделов: элементы теории множеств; элементы комбинаторики; сведения из алгебраических структур и булевой алгебры; основы теории графов, теория алгоритмов и машины Тьюринга. В конце каждой лекции приведены задачи и упражнения, которые целесообразно разобрать на практических и лабораторных занятиях. В первой части представлен материал по основам теории множеств и элементам комбинаторики. Учебное пособие рассчитано на изучающих курс «Дискретная математика», оно будет также полезно для программистов.
Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика : учебное пособие. - [Б. м.] : Московский государственный строительный университет, ЭБС АСВ, 2010 - .Дискретная математика. Часть 1. Основы теории множеств и комбинаторика / Клашанов Ф. К. - 2010. - 112 с. - ISBN 978-5-89826-333-1 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
Дискретная математика -- теория множеств -- комбинаторика -- автоматизированная система -- информация -- информатика -- вычислительная техника
Аннотация: В учебном пособии по дискретной математике представлены материалы в помощь студентам, изучающим дискретную математику в Московском государственном строительном университете на факультете ИСТАС и рассчитана на студентов, обучающихся по специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (код по ОКСО 230102) по направлению 654600 «Информатика и вычислительная техника» (код по ОКСО 230100). Учебное пособие представляет собой единый методически взаимоувязанный материал, состоит из взаимосвязанных разделов: элементы теории множеств; элементы комбинаторики; сведения из алгебраических структур и булевой алгебры; основы теории графов, теория алгоритмов и машины Тьюринга. В конце каждой лекции приведены задачи и упражнения, которые целесообразно разобрать на практических и лабораторных занятиях. В первой части представлен материал по основам теории множеств и элементам комбинаторики. Учебное пособие рассчитано на изучающих курс «Дискретная математика», оно будет также полезно для программистов.
2.
Подробнее
127141
Сидоров, С. П.
Анализ динамики локальных характеристик в сложных сетях / Сидоров С. П. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 2022. - 104 с. - ISBN 978-5-292-04786-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.17
Кл.слова (ненормированные):
динамика -- локальные характеристики -- сложные сети
Аннотация: Монография содержит новые результаты теории сложных сетей, посвящённые изучению динамики локальных характеристик во времени растущих сетей. Результаты получены с использованием метода среднего поля и подкреплены анализом эволюции этих характеристик во времени в реальных растущих сетях. Для работников высшей школы, научных сотрудников, аспирантов, заинтересованных в изучении и моделировании систем.
Доп.точки доступа:
Миронов, С. В.
Сидоров, С. П.
Анализ динамики локальных характеристик в сложных сетях / Сидоров С. П. - Саратов : Издательство Саратовского университета, 2022. - 104 с. - ISBN 978-5-292-04786-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
динамика -- локальные характеристики -- сложные сети
Аннотация: Монография содержит новые результаты теории сложных сетей, посвящённые изучению динамики локальных характеристик во времени растущих сетей. Результаты получены с использованием метода среднего поля и подкреплены анализом эволюции этих характеристик во времени в реальных растущих сетях. Для работников высшей школы, научных сотрудников, аспирантов, заинтересованных в изучении и моделировании систем.
Доп.точки доступа:
Миронов, С. В.
3.
Подробнее
128707
Бойчевский, А. В.
Анализ электрических цепей с применением основ теории сигнальных графов : учебное пособие / Бойчевский А. В. - Липецк : Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2022. - 91 с. - ISBN 978-5-00175-133-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 31.2
Кл.слова (ненормированные):
анализ -- матрица передач -- сигнальный граф -- формула мезона -- электрическая цепь
Аннотация: В данном учебном пособии изложены основные положения теории сигнальных графов, позволяющей эффективно рассчитывать линейные электрические цепи. Представленный в пособии учебный материал охватывает такие теоретические разделы, как: «Построение нормализованного и ненормализованного сигнального графа»; «Преобразование сигнальных графов»; «Решение сигнальных графов»; «Построение сигнальных графов электрических цепей и их расчеты при помощи графов». Весь представленный теоретический материал проиллюстрирован на конкретных примерах, с подробными решениями. Пособие предназначено для студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» очной, очно-заочной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Моделирование в технике».
Бойчевский, А. В.
Анализ электрических цепей с применением основ теории сигнальных графов : учебное пособие / Бойчевский А. В. - Липецк : Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2022. - 91 с. - ISBN 978-5-00175-133-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
анализ -- матрица передач -- сигнальный граф -- формула мезона -- электрическая цепь
Аннотация: В данном учебном пособии изложены основные положения теории сигнальных графов, позволяющей эффективно рассчитывать линейные электрические цепи. Представленный в пособии учебный материал охватывает такие теоретические разделы, как: «Построение нормализованного и ненормализованного сигнального графа»; «Преобразование сигнальных графов»; «Решение сигнальных графов»; «Построение сигнальных графов электрических цепей и их расчеты при помощи графов». Весь представленный теоретический материал проиллюстрирован на конкретных примерах, с подробными решениями. Пособие предназначено для студентов направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» очной, очно-заочной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Моделирование в технике».
4.
Подробнее
127989
Казанский, А. А.
Дискретная математика в задачах : учебное пособие / Казанский А. А. - Москва : Техносфера, 2022. - 344 с. - ISBN 978-5-94836-657-9 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.17
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- дискретная математика
Аннотация: В книге представлены фундаментальные понятия для всестороннего рассмотрения ключевых тем дискретной математики. Приведены детальные примеры для облегчения восприятия вводимых теоретических понятий, а также темы для обсуждения, позволяющие закрепить техники представленных алгоритмов. Дается объяснение недостаточно известных методов, таких как задание множеств формулами и упрощение формул при помощи графов, применение метода Магу для определения параметров графа на основе использования методов алгебры логики. Издание дополняют 276 задач с подробным решением. Книга предназначена как для студентов, так и для специалистов, использующих методы дискретной математики в компьютерной технике, бизнес-исследованиях, экономике, менеджменте, логистике и связанных с ними разделах.
Казанский, А. А.
Дискретная математика в задачах : учебное пособие / Казанский А. А. - Москва : Техносфера, 2022. - 344 с. - ISBN 978-5-94836-657-9 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- дискретная математика
Аннотация: В книге представлены фундаментальные понятия для всестороннего рассмотрения ключевых тем дискретной математики. Приведены детальные примеры для облегчения восприятия вводимых теоретических понятий, а также темы для обсуждения, позволяющие закрепить техники представленных алгоритмов. Дается объяснение недостаточно известных методов, таких как задание множеств формулами и упрощение формул при помощи графов, применение метода Магу для определения параметров графа на основе использования методов алгебры логики. Издание дополняют 276 задач с подробным решением. Книга предназначена как для студентов, так и для специалистов, использующих методы дискретной математики в компьютерной технике, бизнес-исследованиях, экономике, менеджменте, логистике и связанных с ними разделах.
5.
Подробнее
122096
Милевский, А. С.
Дискретная математика : учебное пособие / Милевский А. С. - Москва : Российский университет транспорта (МИИТ), 2021. - 93 с. - Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
булевы функции -- дискретная математика -- множества -- теории графов
Аннотация: Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, в учебных планах которых предусмотрена дисциплина «Дискретная математика», «Дискретные и логические модели в экономике». Содержит разделы: множества, бинарные отношения, булевы функции, алгебра высказываний, элементы теории графов, некоторые оптимизационные задачи на графах.
Милевский, А. С.
Дискретная математика : учебное пособие / Милевский А. С. - Москва : Российский университет транспорта (МИИТ), 2021. - 93 с. - Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
булевы функции -- дискретная математика -- множества -- теории графов
Аннотация: Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, в учебных планах которых предусмотрена дисциплина «Дискретная математика», «Дискретные и логические модели в экономике». Содержит разделы: множества, бинарные отношения, булевы функции, алгебра высказываний, элементы теории графов, некоторые оптимизационные задачи на графах.
6.
Подробнее
119237
Поттосин, Ю. В.
Комбинаторные задачи в логическом проектировании дискретных устройств / Поттосин Ю. В. - Минск : Белорусская наука, 2021. - 176 с. - ISBN 978-985-08-2725-8 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
дискретная математика -- дискретные устройства -- задачи -- комбинаторика
Аннотация: В монографии рассматриваются оптимизационные комбинаторные задачи дискретной математики, возникающие при логическом проектировании дискретных устройств и систем. Представлены методы решения таких задач, как поиск кратчайшего покрытия множества, раскраска графа и др. Описаны классические методы минимизации и декомпозиции булевых функций в терминах булевых и троичных векторов и матриц. Изложены методы проектирования дискретных устройств, использующие классические модели конечного автомата и параллельного автомата. Адресуется специалистам в области автоматизации проектирования дискретных устройств, а также студентам, магистрантам и аспирантам, специализирующимся в данном направлении.
Поттосин, Ю. В.
Комбинаторные задачи в логическом проектировании дискретных устройств / Поттосин Ю. В. - Минск : Белорусская наука, 2021. - 176 с. - ISBN 978-985-08-2725-8 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
дискретная математика -- дискретные устройства -- задачи -- комбинаторика
Аннотация: В монографии рассматриваются оптимизационные комбинаторные задачи дискретной математики, возникающие при логическом проектировании дискретных устройств и систем. Представлены методы решения таких задач, как поиск кратчайшего покрытия множества, раскраска графа и др. Описаны классические методы минимизации и декомпозиции булевых функций в терминах булевых и троичных векторов и матриц. Изложены методы проектирования дискретных устройств, использующие классические модели конечного автомата и параллельного автомата. Адресуется специалистам в области автоматизации проектирования дискретных устройств, а также студентам, магистрантам и аспирантам, специализирующимся в данном направлении.
7.
Подробнее
102066
Алексеев, В. Е.
Структуры данных и модели вычислений : учебное пособие / Алексеев В. Е. - Москва : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2021. - 247 с. - ISBN 978-5-4497-0939-4 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- алгорифм маркова -- логическое программирование -- машина тьюринга -- модель вычислений -- структура данных -- теория графов -- формальный язык
Аннотация: В учебном пособии рассматриваются способы структурирования информации в моделях с адресуемой памятью и классические модели вычислений, которые сыграли основную роль в формировании математического понятия алгоритма. Одной из основных целей при разработке структур данных является формирование математических понятий, которые пока не входят в классическую математику, но требуют формального описания и математического анализа их свойств. Основной интерес здесь представляют сложностные аспекты выполнения типичных операций. Возникновение наиболее удачных структур, использующихся в различных алгоритмах, приводит к формированию так называемых абстрактных типов данных, которые позволяют вести проектирование нетривиальных алгоритмов на более высоком уровне, не упуская из виду конкретных реализаций. Методы реализации абстрактных типов данных можно рассматривать как переход от описания алгоритма с использованием прикладных или математических понятий к описанию в конкретной системе вычислений. В издании рассматриваются методы реализации приоритетных очередей, динамически меняющихся отношений эквивалентности, а также некоторые способы организации словарей, основывающиеся на применении так называемых поисковых деревьев, приводятся примеры использования рассматриваемых структур в алгоритмах решения некоторых задач из теории графов. Дается описание машин Тьюринга, алгорифмов Маркова, «машины абак» и как наиболее реалистичной модели вычислительного автомата — модели с адресуемой памятью РАМ. Приводятся основные сведения о формальных языках и способах их конструктивного задания, а также теоретические основы логического программирования. Важность этих вопросов вытекает не только из общенаучных проблем развития математики, но также из практических задач общества, использующего вычислительную технику в производстве, экономике, инженерных расчетах и заинтересованного в адекватном представлении о возможностях вычислительных автоматов.
Доп.точки доступа:
Таланов, В. А.
Алексеев, В. Е.
Структуры данных и модели вычислений : учебное пособие / Алексеев В. Е. - Москва : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2021. - 247 с. - ISBN 978-5-4497-0939-4 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- алгорифм маркова -- логическое программирование -- машина тьюринга -- модель вычислений -- структура данных -- теория графов -- формальный язык
Аннотация: В учебном пособии рассматриваются способы структурирования информации в моделях с адресуемой памятью и классические модели вычислений, которые сыграли основную роль в формировании математического понятия алгоритма. Одной из основных целей при разработке структур данных является формирование математических понятий, которые пока не входят в классическую математику, но требуют формального описания и математического анализа их свойств. Основной интерес здесь представляют сложностные аспекты выполнения типичных операций. Возникновение наиболее удачных структур, использующихся в различных алгоритмах, приводит к формированию так называемых абстрактных типов данных, которые позволяют вести проектирование нетривиальных алгоритмов на более высоком уровне, не упуская из виду конкретных реализаций. Методы реализации абстрактных типов данных можно рассматривать как переход от описания алгоритма с использованием прикладных или математических понятий к описанию в конкретной системе вычислений. В издании рассматриваются методы реализации приоритетных очередей, динамически меняющихся отношений эквивалентности, а также некоторые способы организации словарей, основывающиеся на применении так называемых поисковых деревьев, приводятся примеры использования рассматриваемых структур в алгоритмах решения некоторых задач из теории графов. Дается описание машин Тьюринга, алгорифмов Маркова, «машины абак» и как наиболее реалистичной модели вычислительного автомата — модели с адресуемой памятью РАМ. Приводятся основные сведения о формальных языках и способах их конструктивного задания, а также теоретические основы логического программирования. Важность этих вопросов вытекает не только из общенаучных проблем развития математики, но также из практических задач общества, использующего вычислительную технику в производстве, экономике, инженерных расчетах и заинтересованного в адекватном представлении о возможностях вычислительных автоматов.
Доп.точки доступа:
Таланов, В. А.
8.
Подробнее
89434
Алексеев, В. Е.
Графы и алгоритмы : учебное пособие / Алексеев В. Е. - Москва, Саратов : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. - 153 с. - ISBN 978-5-4497-0366-8 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- бинарные отношения -- взвешенный граф -- граф -- дискретная математика -- матрица смежности -- ориентированный граф -- подграф -- теория графов -- эйлеров цикл
Аннотация: Учебное пособие посвящено алгоритмам на графах. Приводятся базовые понятия и факты из теории графов и излагаются некоторые алгоритмы для решения задач на графах. Основной принцип отбора и организации материала состоял в том, что каждый рассматриваемый пример должен нести определенную идейную нагрузку, знакомить слушателя с одним из важных изобретений или открытий в алгоритмической области. При этом предпочтение отдавалось не самым последним или рекордным алгоритмам, а более простым для понимания и убедительно демонстрирующим ту или иную идею. Для большинства рассматриваемых алгоритмов даются доказательства их правильности (т.е. того, что алгоритм действительно решает поставленную задачу) и оценок трудоемкости. Умение достаточно строго обосновывать алгоритмы и оценивать их трудоемкость является существенной частью квалификации алгоритмиста. Материал издания может быть использован и в общем курсе дискретной математики.
Доп.точки доступа:
Таланов, В. А.
Алексеев, В. Е.
Графы и алгоритмы : учебное пособие / Алексеев В. Е. - Москва, Саратов : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. - 153 с. - ISBN 978-5-4497-0366-8 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
алгоритм -- бинарные отношения -- взвешенный граф -- граф -- дискретная математика -- матрица смежности -- ориентированный граф -- подграф -- теория графов -- эйлеров цикл
Аннотация: Учебное пособие посвящено алгоритмам на графах. Приводятся базовые понятия и факты из теории графов и излагаются некоторые алгоритмы для решения задач на графах. Основной принцип отбора и организации материала состоял в том, что каждый рассматриваемый пример должен нести определенную идейную нагрузку, знакомить слушателя с одним из важных изобретений или открытий в алгоритмической области. При этом предпочтение отдавалось не самым последним или рекордным алгоритмам, а более простым для понимания и убедительно демонстрирующим ту или иную идею. Для большинства рассматриваемых алгоритмов даются доказательства их правильности (т.е. того, что алгоритм действительно решает поставленную задачу) и оценок трудоемкости. Умение достаточно строго обосновывать алгоритмы и оценивать их трудоемкость является существенной частью квалификации алгоритмиста. Материал издания может быть использован и в общем курсе дискретной математики.
Доп.точки доступа:
Таланов, В. А.
9.
Подробнее
89435
Костюкова, Н. И.
Графы и их применение : учебное пособие / Костюкова Н. И. - Москва, Саратов : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. - 147 с. - ISBN 978-5-4497-0367-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.1
Кл.слова (ненормированные):
бесконечный граф -- гамильтонов граф -- орграф -- планарный граф -- применение графа -- раскрашивание графа -- сетевое планирование -- теория графов -- теория трансверсалей -- цепь маркова
Аннотация: В учебном пособии излагаются основные понятия теории графов. Описаны методы решения задач. Материал организован так, что знакомство с графами происходит в процессе решения самых разнообразных задач, в формулировках условий которых не упоминаются графы. Для решения их требуется увидеть возможность перевести условие на язык графов, решить задачу внутри теории графов, интерпретировать получение решение в исходных терминах. Если в начале учебного пособия рассматриваются приложения частного характера, иллюстрирующие теорию графов и ее связь с жизнью, то вторая половина книги посвящена прикладным разделам теории графов, имеющим практическое значение в экономике и управлении.
Костюкова, Н. И.
Графы и их применение : учебное пособие / Костюкова Н. И. - Москва, Саратов : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020. - 147 с. - ISBN 978-5-4497-0367-5 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
бесконечный граф -- гамильтонов граф -- орграф -- планарный граф -- применение графа -- раскрашивание графа -- сетевое планирование -- теория графов -- теория трансверсалей -- цепь маркова
Аннотация: В учебном пособии излагаются основные понятия теории графов. Описаны методы решения задач. Материал организован так, что знакомство с графами происходит в процессе решения самых разнообразных задач, в формулировках условий которых не упоминаются графы. Для решения их требуется увидеть возможность перевести условие на язык графов, решить задачу внутри теории графов, интерпретировать получение решение в исходных терминах. Если в начале учебного пособия рассматриваются приложения частного характера, иллюстрирующие теорию графов и ее связь с жизнью, то вторая половина книги посвящена прикладным разделам теории графов, имеющим практическое значение в экономике и управлении.
10.
Подробнее
100830
Хоменко, Т. В.
Дискретная математика. Отдельные методы теории множеств и математической логики. Лабораторный практикум : учебное пособие / Хоменко Т. В. - Астрахань : Астраханский государственный архитектурно-строительный университет, ЭБС АСВ, 2020. - 111 с. - ISBN 978-5-93026-104-2 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
ББК 22.176
Кл.слова (ненормированные):
алгоритмы -- дискретная математика -- компьютерная реализация -- математическая логика -- теория множеств
Аннотация: Учебное пособие включает в себя как понятия и определения, необходимые для понимания сущности предложенных задач в цикле лабораторных работ и выполнения индивидуальных заданий по ряду разделов теории множеств и математической логики, так и основные алгоритмы для компьютерной реализации изучаемых понятий и свойств. Помимо теоретической справки, в каждой лабораторной работе приводятся методические указания по ее выполнению и контрольные вопросы, необходимые для закрепления учебного материала по каждой теме и осуществления контроля знаний. Кроме того, в учебном пособии содержатся варианты индивидуальных заданий по теме «Булевы функции», а также приведен разбор типовых примеров из этих индивидуальных заданий. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, магистрантов и аспирантов.
Хоменко, Т. В.
Дискретная математика. Отдельные методы теории множеств и математической логики. Лабораторный практикум : учебное пособие / Хоменко Т. В. - Астрахань : Астраханский государственный архитектурно-строительный университет, ЭБС АСВ, 2020. - 111 с. - ISBN 978-5-93026-104-2 : Б. ц.
Книга находится в Премиум-версии IPR SMART.
УДК |
Кл.слова (ненормированные):
алгоритмы -- дискретная математика -- компьютерная реализация -- математическая логика -- теория множеств
Аннотация: Учебное пособие включает в себя как понятия и определения, необходимые для понимания сущности предложенных задач в цикле лабораторных работ и выполнения индивидуальных заданий по ряду разделов теории множеств и математической логики, так и основные алгоритмы для компьютерной реализации изучаемых понятий и свойств. Помимо теоретической справки, в каждой лабораторной работе приводятся методические указания по ее выполнению и контрольные вопросы, необходимые для закрепления учебного материала по каждой теме и осуществления контроля знаний. Кроме того, в учебном пособии содержатся варианты индивидуальных заданий по теме «Булевы функции», а также приведен разбор типовых примеров из этих индивидуальных заданий. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, магистрантов и аспирантов.
Беті 1, Нәтижелерін: 31